Запятая не нужна. Союз и соединяет однородные придаточные предложения.
См. о предлоге ВО ответ № 233445. Слова двор и дворец сочетаются как с ВО, так и с В: войти во двор, превратить в двор, явиться во дворец, бросить в дворец. Сочетания с СО: уехать со двора, начать осмотр с двора.
Корректны варианты прыгать через скакалку и прыгать со скакалкой.
Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.
Корректно слитное написание.
Верно: прыгнуть с тарзанки.
Корректно с НИ.
См. в «Письмовнике».
Теоретически да – если положить парашют на пол :) О прыжке с самолета – прыгать с парашютом.